VECTOR_PROJECTION
ベクトル空間における正射影と直交分解
SYSTEM_WORKSPACE
Source Vector (A)
Baseline Vector (B)
ベクトル射影とは？幾何学的な「影」の正体
ベクトル射影（Vector Projection）とは、あるベクトル A を別のベクトル B の向きに垂直に落とし込んだ時にできるベクトルのことです。
イメージとしては、ベクトル B という地面に対して、太陽が真上（垂直方向）からベクトル A を照らした時に地面にできる「影」のようなものです。この操作は、線形代数の中でも最も基本的でありながら、応用範囲の広い重要な概念です。
射影の計算公式
ベクトル A のベクトル B への射影ベクトル projᴮA は以下の式で求められます。
projᴮA = (A · B / |B|²) B
ここで、A · B は内積、|B|² は B の大きさの 2 乗です。この式が意味するのは、「向きはベクトル B
と同じで、大きさ（長さ）が内積によって調整されたベクトル」ということです。
スカラー射影とベクトル射影の違い
本計算機では 2 つの結果を表示します。
- ベクトル射影（Vector Projection）： 結果そのものが「ベクトル形式（X, Y, Z）」で表示されます。実用上の「影」となる新しいベクトルです。
- スカラー射影（Scalar Projection）： 射影されたベクトルの「符号付きの長さ（スカラー値）」です。ベクトル A がベクトル B の方向にどれだけの「勢い」を持っているかを数値化したもので、成分（Component）とも呼ばれます。
実世界での活用例
1. 物理学における力の分解
斜面にある物体にかかる重力を「斜面に沿った力」と「斜面に垂直な力」に分解する場合、射影の計算が欠かせません。物体の加速に寄与するのは、移動方向ベクトルへの射影成分だけだからです。
2. 3DCGとライティング（影の描画）
CGの世界では、光の方向ベクトルが物体の表面ベクトル（法線ベクトル）にどれだけ射影されるかによって、そのピクセルの明るさが決まります。さらに、実際にジオメトリとしての影を平面に投影する計算にも、射影行列が使われています。
3. 機械学習と次元圧縮
主成分分析（PCA）などの手法では、多次元のデータを特定の方向（分散が最大になる方向）へ射影することで、重要な情報を保ったままデータの次元を減らします。これも高度なベクトル射影の応用です。
射影を理解するためのステップ
射影の理解を深めるには、次に 「直交補空間」 を学ぶのがおすすめです。ベクトル A を、ベクトル B に並行な成分（射影ベクトル）と、それに垂直な成分に分解すること（直交分解）で、ベクトルの本当の構造が見えてきます。
FAQ: ベクトル射影のよくある疑問
Q. ベクトル B が 0 (ゼロベクトル) の場合は計算できますか？
A. いいえ。式の中に |B|² による除算が含まれるため、B が 0 の場合は定義できません。幾何学的にも「影を落とす地面がない」状態になります。
Q. 射影ベクトルがベクトル B と逆を向くことはありますか？
A. はい。ベクトル A と B のなす角が 90 度を超えている（鈍角）場合、内積がマイナスになり、射影ベクトルは B と180度反対の向きを指します。
Q. 射影の大きさは必ずベクトル A よりも小さくなりますか？
A. 必ずしもそうではありません。スカラー射影の絶対値は、|A| * |cosθ| となるため、ベクトル A の長さ以下になります。しかし、ベースとなるベクトル B
の長さ（|B|）とは関係がありません。