一様分布計算機

下限(a)と上限(b)の範囲内ですべての値が同じ確率で発生する連続分布を解析します。

期待値 (平均) E[X]

分散 Var(X)

標準偏差 σ

確率密度 PDF f(x)

累積分布 CDF F(x)

PDF Area

a b

連続一様分布（矩形分布）とは？

連続一様分布（Continuous Uniform Distribution）は、統計学および確率論において最もシンプルかつ基本的な確率分布の一つです。特定の範囲 [a, b] において、その範囲内のすべての値が等しい確率で発生するという特徴を持っています。そのため、グラフに描くと長方形の形になることから「矩形分布（くけいぶんぷ）」とも呼ばれます。

日常生活において「どの時間帯に届くか全く予測がつかない配達」や「0から100までの数字をランダムに生成するプログラム（乱数）」などは、この一様分布に従う代表的な例です。何かが起こる確率に偏りがなく、完全にランダムである状態を表現するために使われます。

一様分布の定義

確率変数 X が下限 a と上限 b の間で一様分布に従うとき、これを X ~ U(a, b) と表記します。

範囲： a ≤ X ≤ b
確率密度： 範囲外では 0、範囲内では一定

一様分布の重要公式

一様分布を解析する際に不可欠な4つの主要な数式を紹介します。

1. 確率密度関数 (PDF: Probability Density Function)

特定の点 x における密度の高さを示します。範囲 [a, b] 内であれば、どこでも同じ値になります。

                    f(x) = 1 / (b - a)
                

※ 全体の面積（確率の合計）は必ず 1 になるように設計されています。

2. 累積分布関数 (CDF: Cumulative Distribution Function)

下限 a から x までの間に値が存在する確率を示します。

                    F(x) = (x - a) / (b - a) (a ≤ x ≤ b)
                

3. 期待値 (Expectation / Mean)

平均的な中心値です。下限と上限のちょうど中間に位置します。

                    E[X] = (a + b) / 2
                

4. 分散と標準偏差 (Variance & Standard Deviation)

値がどれくらいばらついているかを示します。

                    Var(X) = (b - a)² / 12

                    σ = √Var(X)

具体的な活用シーンと例

理論的な一様分布は、実世界の多くのシミュレーションや予測で重要な役割を果たします。

分野	具体例
コンピューティング	疑似乱数生成器（0.0〜1.0の間の乱数など）
物理学	粒子の放出方向（全方位に均一な場合）
交通システム	等間隔で走るバスの待ち時間予測
製造業	製品の重量誤差（±0.1gの範囲で均一に発生するなど）

一様分布のパラメータ推定

実際のデータから一様分布の [a, b] を推定する場合、一般的には最小値と最大値を使用しますが、これは「標本分散」よりも大きな分散を持つ傾向があります。統計学の高度な分析（最尤法など）では、データのサンプリングバイアスを考慮した補正が行われます。この計算機では、ユーザーが明示的に設定した境界条件に基づいて正確な理論値を算出します。

よくある質問 (FAQ)

Q. 離散一様分布と連続一様分布の違いは何ですか？

A. 離散一様分布は、サイコロの目（1,2,3,4,5,6）のように「飛び飛びの値」を扱います。一方、連続一様分布は身長の測定値や時間のように、小数点以下無限に続く「連続的な値」を扱います。

Q. なぜ分散の公式で 12 で割るのですか？

A. これは二乗誤差の期待値を積分計算（定義通りに計算）した結果、分母が 12 になるためです。数学的な証明により導き出された定数です。

Q. 確率密度 PDF が 1 を超えることはありますか？

A. はい、あります。例えば範囲 [0, 0.5] の一様分布の場合、PDF = 1 / 0.5 = 2 となります。これは「確率」そのものではなく「密度」であるため、1を超えることが可能です。ただし、累積確率（面積）が1を超えることはありません。