QR 分解計算機

QR分解とは？

線形代数において、実数値行列 A を、直交行列 Q と上三角行列 R の積に分解することを QR分解（QR Decomposition または QR Factorization）といいます。

• Q (Orthogonal Matrix): 直交行列。各列ベクトルが互いに直交し、かつ大きさが1（正規直交基底）です。すなわち、QᵀQ = I (単位行列) が成り立ちます。
• R (Renormalized / Upper Triangular Matrix): 上三角行列。対角成分より下の要素がすべて0になります。

計算方法 (グラム・シュミット法)

このツールでは、グラム・シュミットの正規直交化法（Gram-Schmidt Process）を用いて計算しています。

1. 行列 A の列ベクトルを a₁, a₂, ... とします。
2. 最初の基底ベクトル u₁ を a₁ とし、正規化して e₁ を求めます。
3. 次のベクトル a₂ から、e₁ 方向の成分を除去して u₂ を作り、正規化して e₂ を得ます。
4. このプロセスを繰り返し、正規直交基底 {e₁, e₂, ...} を並べたものが行列 Q となります。
5. 行列 R は、A = QR より R = QᵀA として計算できます。

応用

QR分解は、連立一次方程式の数値解法（最小二乗法など）や、固有値計算（QR法）において非常に重要な役割を果たします。計算が安定しており、科学技術計算で広く使用されています。