疑似逆行列計算機 (Moore-Penrose)

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Result: A⁺ (Pseudoinverse)

疑似逆行列（Pseudoinverse）とは？

行列 $A$ が正則行列（正方形で逆行列を持つ）であれば、その逆行列 $A^{-1}$ はただ一つ存在します。しかし、正方形でない行列（長方形行列）や、正方形でも逆行列を持たない（特異な）行列の場合、通常の逆行列は定義できません。

そこで登場するのが「疑似逆行列（一般化逆行列）」です。中でも最も一般的なのがムーア・ペンローズ (Moore-Penrose) 疑似逆行列であり、記号 $A^+$ で表されます。

疑似逆行列は、特異値分解 (SVD: Singular Value Decomposition) を用いて計算されます。

A = U \Sigma V^T \quad \Rightarrow \quad A^+ = V \Sigma^+ U^T

ここで、$\Sigma^+$ は対角成分（特異値）の逆数を取り（0の場合は0のまま）、転置したものです。

連立一次方程式 $Ax = b$ において、解が存在しない（不能）場合でも、誤差 $\|Ax - b\|^2$ を最小にする「最適な近似解」を求めることができます。

x_{opt} = A^+ b

回帰分析や、ニューラルネットワークの学習（Extreme Learning Machineなど）において、データをフィッティングさせる際の重み計算に使用されます。

疑似逆行列は、解けない問題を「最もそれらしい解」で解決するための強力なツールです。この計算機はブラウザ上でSVDを実行し、瞬時に結果を導き出します。