点と平面の距離計算機

点と平面の距離公式の数学的背景

3次元空間において、ある点 $P(x_0, y_0, z_0)$ から平面 $ax + by + cz + d = 0$ までの最短距離 $D$ は、以下の公式で求められます。

$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

式の意味と構成要素

• 分子 $|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|$：
  平面の方程式の左辺に点の座標を代入した値の絶対値です。この値が0であれば、点は平面上にあります。正であれば法線ベクトルと同じ側、負であれば反対側に位置することを意味しますが、距離としては絶対値をとります。
• 分母 $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$：
  平面の法線ベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ の大きさ（ノルム）です。これにより、距離を正規化しています。

法線ベクトルとは？

平面の方程式 $ax + by + cz + d = 0$ における係数 $(a, b, c)$ は、その平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）の成分を表しています。この性質を利用することで、平面の向きや傾きを数値的に扱うことができます。

応用例：衝突判定

コンピュータグラフィックス（CG）やゲームプログラミングにおいて、3Dキャラクター（点や球として近似）が壁や床（平面）に接触したかどうかを判定する際に、この距離計算が頻繁に使用されます。距離 $D$ がキャラクターの半径以下になった時、「衝突した」とみなすわけです。