平面交差計算機
3次元空間における平面と平面、または平面と直線の交差を解析。
平面の方程式: $ax + by + cz + d = 0$
平面 1 (Plane 1)
平面 2 (Plane 2)
平面 (Plane): $ax + by + cz + d = 0$
直線 (Line): $P = P_0 + t\vec{v}$
Point $P_0(x_0, y_0, z_0)$ / Vector $\vec{v}(v_x, v_y, v_z)$
Intersection Result
3次元幾何学における平面交差の解析
私たちの住む3次元空間において、物体（平面や直線）がどのように交わるかを知ることは、建築設計、ロボット工学、コンピュータグラフィックス（CG）など多岐にわたる分野で不可欠です。
1. 2つの平面の交差（交線）
平行でない2つの平面は、必ず1本の「直線」で交わります。この直線を求めるには、両方の平面の方程式を連立させて解く必要があります。
- 法線ベクトルの外積： 交線の方向ベクトル $\vec{v}$ は、2つの平面の法線ベクトル $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ の外積 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ と平行になります。
- 通過点の特定： 方向ベクトルが決まれば、あとは直線上の一点を見つければ、直線の方程式 $P = P_0 + t\vec{v}$ が完成します。
2. 平面と直線の交差（交点）
平面と直線が平行でない限り、それらは一点で交わります。これは「レイ・トレーシング（光線追跡法）」の基本原理でもあります。
直線上の任意の点 $P(t) = P_0 + t\vec{v}$ を平面の方程式 $ax + by + cz + d = 0$ に代入し、媒介変数 $t$ について解くことで、交点の座標を特定できます。
実社会での応用
例えば、VRゲームにおいてプレイヤーの視線（直線）が壁（平面）のどこを見ているかを判定したり、建築CADソフトで屋根の面同士がぶつかる稜線（棟）を計算したりする際に、この数学的アルゴリズムが高速で処理されています。