転置行列計算機

転置行列とは？

転置行列(Transpose Matrix)とは、行列の行と列を入れ替えた行列のことです。記号では $A^T$ や $A'$ と表記されます。

定義

$m \times n$ 行列 $A$ の転置 $A^T$ は $n \times m$ 行列となり、各成分は:

具体例

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$

重要な性質

• 二重転置: $(A^T)^T = A$
• 和の転置: $(A + B)^T = A^T + B^T$
• 積の転置: $(AB)^T = B^T A^T$ (順序が逆になる!)
• スカラー倍: $(kA)^T = kA^T$
• 対称行列: $A^T = A$ のとき、$A$ は対称行列

応用例

最小二乗法による回帰分析、グラム行列の計算、機械学習のアルゴリズム実装、量子力学におけるエルミート演算子の定義など、幅広く使用されます。