対角化計算機

行列を $A = PDP^{-1}$ の形へ分解

対象行列 $A$ (2x2)

Step 1: 固有値方程式 (Characteristic Equation)

Step 2: 固有値 (Eigenvalues) $\lambda$

Step 3: 固有ベクトル (Eigenvectors) $v$

Step 4: 結果 ($P$ と $D$)

※固有値が実数の範囲で存在しない場合や、重解で対角化不可能な場合はその旨が表示されます。

行列の対角化とは？

正方行列 $A$ に対して、正則行列 $P$ と対角行列 $D$ を用いて $P^{-1}AP = D$ （または $A = PDP^{-1}$） の形に変形することを「対角化」といいます。

これにより、行列のべき乗計算 $A^n = PD^nP^{-1}$ が非常に簡単になります。

計算手順

  1. 特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。
  2. 各固有値に対応する固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。
  3. 固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作り、固有値を対角成分に並べて行列 $D$ を作ります。