マン・ホイットニーU検定計算機

マン・ホイットニーU検定とは？

マン・ホイットニーU検定（Mann-Whitney U test）は、2つの独立したグループ間に統計的に有意な差があるかどうかを検定するノンパラメトリック手法です。「ウィルコクソンの順位和検定（Wilcoxon rank-sum test）」と実質的に同じ検定です。

いつ使うのか？

• データが正規分布に従っていると仮定できない場合（t検定が使えない場合）。
• データが順序尺度（順位データ）である場合。
• 外れ値の影響を受けにくい検定を行いたい場合。

検定の仕組み

2つのグループのデータを合わせて小さい順に並べ、順位（ランク）を付けます。もし2つのグループに差がなければ、順位の合計（順位和）は両グループで似たような値になるはずです。一方のグループの順位和が極端に小さい（または大きい）場合、2つのグループには差があると判断します。

統計量Uの計算

$$ U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2} $$ $$ U_2 = R_2 - \frac{n_2(n_2+1)}{2} $$

ここで、$n_1, n_2$ は各グループのサンプルサイズ、$R_1, R_2$ は順位和です。最終的な検定統計量 $U$ は $\min(U_1, U_2)$ を使用します。

正規近似

サンプルサイズが大きい場合（各群 > 20程度）、Uの分布は正規分布で近似できます。

平均: $\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2}$

分散: $\sigma_U^2 = \frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}$

$Z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}$