ヘロンの公式計算機

ヘロンの公式（Heron's Formula）とは？

通常の三角形の面積の公式「底辺 × 高さ ÷ 2」を使うには、高さ（垂線の長さ）を知る必要があります。 しかし、土地の測量やDIYなど、現場では3つの辺の長さしかわからないことの方が多いものです。 そんな時に便利なのが、古代ギリシャの数学者ヘロンが証明したこの公式です。3辺の長さだけで面積を求めることができます。

公式

三角形の3辺の長さを $a, b, c$ とします。 まず、半周長 $s$ (semi-perimeter) を求めます。

この $s$ を使って、面積 $S$ は以下のように表されます。

計算できないケース（三角形の成立条件）

どんな3つの数字でも三角形を作れるわけではありません。 「一番長い辺の長さ」は、「他の2辺の長さの合計」よりも短くなければなりません（三角不等式）。

条件: $a + b > c$ （ただし $c$ が最大辺の場合）

もし $1, 2, 5$ のような棒を持ってきても、端同士をつなげることはできず、三角形にはなりません。この場合、ヘロンの公式のルートの中身が負の数になり、計算不能（虚数）となります。

歴史と応用

この公式は、西暦60年頃のアレクサンドリアのヘロンの著書『Metrica』に記されていますが、実際にはアルキメデスがすでに知っていたとも言われています。
現代では、不整形の土地の面積を求める際によく使われます。 四角形や多角形の土地でも、対角線を一本引いて2つの三角形に分割し、それぞれの3辺を測れば、全体の面積を正確に計算できるからです（三斜法）。