勾配計算機 (Gradient Calculator)

勾配 (Gradient / Slope) とは？

勾配とは、ある面や線がどれくらい傾いているかを表す指標です。数学、建築、土木、地理など多くの分野で使用されます。

勾配の表し方

勾配は主に以下の3つの方法で表現されます。

• 傾き (Slope, m): 垂直方向の変化量（Rise, $\Delta y$）を水平方向の変化量（Run, $\Delta x$）で割った値です。$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
• 勾配率 (%): 傾きをパーセンテージで表したものです。道路の勾配標識などでよく見られます（例: 5%の上り坂）。$$ \text{Grade (\%)} = m \times 100 $$
• 角度 (Angle, $\theta$): 水平面となす角度（度数法）です。$$ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right) $$

数学的な勾配 (Gradient in Vector Calculus)

より高度な数学（ベクトル解析）において、勾配（グラディエント, $\nabla f$）はスカラー場における最大傾斜の方向と大きさを示すベクトルを指します。例えば、地形の高さ $h(x, y)$ が与えられたとき、$\nabla h$ は最も急な登り坂の方向を指し、その大きさは斜面の急さを表します。

計算例

水平距離が100m進む間に、高さが5m上昇する場合：

• Rise ($\Delta y$): 5m
• Run ($\Delta x$): 100m
• 傾き: $5 / 100 = 0.05$
• 勾配率: $0.05 \times 100 = 5\%$
• 角度: $\arctan(0.05) \approx 2.86^\circ$