等比数列計算機
初項、公比、項数から、第n項の値と数列の和を計算します。
等比数列 (Geometric Sequence) とは？
等比数列（幾何数列）とは、隣り合う項の比が常に一定である数列のことです。この一定の比のことを公比 (common ratio) と呼びます。
例えば、初項が 2、公比が 3 の数列は以下のようになります。
2, 6, 18, 54, 162, ...
- $6 \div 2 = 3$
- $18 \div 6 = 3$
- $54 \div 18 = 3$
重要な公式
一般項 ($a_n$) の公式:
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
和 ($S_n$) の公式 ($r \neq 1$):
$$ S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} $$
和 ($S_n$) の公式 ($r = 1$):
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
和 ($S_n$) の公式 ($r \neq 1$):
$$ S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} $$
和 ($S_n$) の公式 ($r = 1$):
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
- $a_1$: 初項 (First term)
- $r$: 公比 (Common ratio)
- $n$: 項数 (Number of terms)
実生活での応用例
- 複利計算: 銀行の預金利息などは等比数列的に増えていきます（元利合計）。
- 人口増加: 理想的な環境下での生物の個体数や、人数の増加モデル（マルサス・モデル）は等比数列（指数関数的増加）に従うことがあります。
- 半減期: 放射性物質の崩壊や薬物の血中濃度減少などは、公比が1未満（0 < r < 1）の等比数列としてモデル化できます。
- バイラルマーケティング: 口コミが「1人が3人に伝える」というように広がる場合、情報を知る人数は等比数列的に爆発的増加を見せます。
無限等比級数
項数 $n$ を無限大 ($\infty$) に近づけたとき、数列の和がどうなるかを考えるのが無限等比級数です。
公比の絶対値 $|r| < 1$ の場合、和は収束し、以下の式で求められます。
$$ S_\infty = \frac{a_1}{1-r} $$
例えば、$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ という数列の和は、
$a_1 = 1, r = 0.5$ なので、 $1 / (1 - 0.5) = 2$ に収束します。